Алгебра (8 класс)/Неравенства с одной переменной

Неравенством с одной переменной называется неравенство вида

${\displaystyle f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)\geq g(x),f(x)\leq g(x)}$,

где f(x) и g(x) – функции, заданные на одном и том же множестве –

области определения неравенства.

Множество Х называется областью определения неравенства.

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением.

Решить неравенство – это значит найти множество его решений. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решений совпадают (в том числе неравенства, не имеющие решений, считаются равносильными).

${\displaystyle f(x)>g(x)\iff h(x)>k(x)}$

Если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства (множество решений первого неравенства является подмножеством решений второго неравенства), то второе неравенство называется следствием первого неравенства.

${\displaystyle f(x)>g(x)\Rightarrow h(x)>k(x)}$

Таким образом, два неравенства равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Процесс решения неравенства заключается, в основном, в замене данного неравенства другим предложением (уравнением, системой или совокупностью уравнений и (или) неравенств), ему равносильным.