Алгебра (8 класс)/Поле

Множество ${\displaystyle F}$ с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения ${\displaystyle +}$ и умножения ${\displaystyle *}$ (${\displaystyle +\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F}$, то есть ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F}$) называется полем ${\displaystyle \left\langle F,+,*\right\rangle }$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a+b=b+a}$.
2. Ассоциативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)}$.
3. Существование нулевого элемента: ${\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a}$.
4. Существование противоположного элемента: ${\displaystyle \forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}}$.
5. Коммутативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a*b=b*a}$.
6. Ассоциативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)}$.
7. Существование единичного элемента: ${\displaystyle \exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a}$.
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: ${\displaystyle (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}$.
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}$.

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению ${\displaystyle +}$ над ${\displaystyle F}$; аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ${\displaystyle *}$ над ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$; аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного коммутативное кольца с единицей.