Алгебра (8 класс)/Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений

Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения.

Например, равенства ${\displaystyle {:a^{2}+1=(-a)^{2}+1}}$

Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Например ${\displaystyle :{\frac {a^{3}+1}{b^{2}-3}}}$,

Рациональные алгебраические выражения это дроби Q(x), числитель M(x) и знаменатель N(x) которых полиномы.

${\displaystyle Q(x)={\frac {M(x)}{N(x)}}}$, где ${\displaystyle N(x)\neq 0}$

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

При выполнении нетождественных преобразований выражения возможно изменение его области определения.

Например, приводя подобные слагаемые мы расширяем область определения выражения.

${\displaystyle f(x)=(x+{\sqrt {x}})+(x-{\sqrt {x}})=(x+x)+({\sqrt {x}}-{\sqrt {x}})=2x}$

К изменению области определения выражения может привести и сокращение дроби.

Например: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{(x+1)}}=(x-1)}$

При решении многих алгебраических задач необходимо данный многочлен представить в виде прозведения.

Многочлен, который нельзя разложить на множители, называется неприводимым.

Разложение на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы.

Приемы разложения многочленов на множители.

а) Вынесение общего множителя за скобки

Пример 1. Разложить на множители . ${\displaystyle a\cdot m+b\cdot m+c\cdot m=m\cdot (a+b+c)}$

б) Группировка

Пример 2. Разложить на множители ${\displaystyle x^{5}+x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+x+1}$

Решение:

${\displaystyle x^{5}+x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+x+1=}$ ${\displaystyle x^{4}(x+1)-2x^{2}(x+1)+(x+1)=}$

${\displaystyle (x+1)(x^{4}-2x^{2}+1)=}$ ${\displaystyle (x+1)(x^{2}-1)^{2}=}$

${\displaystyle (x+1)((x-1)(x+1))^{2}=(x+1)^{3}((x-1)^{2}}$

в) Использование формул сокращенного умножения

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

г) Применение формулы разложения квадратного трехчлена на множители:

Формула разложения квадратного трехчлена на линейные множители:${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$

Пример 3: Разложите на множители ${\displaystyle 5x^{2}-6x+1}$

Решение: Корнями квадратного трехчлена являются числа 1 и 0,2. Тогда по формуле: ${\displaystyle 5x^{2}-6x+1=5(x-0.2)(x-1)}$

Арифметические действия с алгебраическими дробями

1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют:

а) согласно правилу:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}\pm {\frac {C}{D}}={\frac {A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}}}$

если многочлены ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ не имеют общих множителей;

б) согласно правилу:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}\pm {\frac {C}{D}}={\frac {A\cdot M\pm C\cdot N}{HOK\left(B;D\right)}}}$

${\displaystyle M={\frac {HOK\left(B;D\right)}{B}},}$ ${\displaystyle N={\frac {HOK\left(B;D\right)}{D}}}$ ,

если многочлены ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ имеют общие множители.

2. Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}\cdot {\frac {C}{D}}={\frac {A\cdot C}{B\cdot D}}.}$

3. Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

,${\displaystyle {\frac {A}{B}}:{\frac {C}{D}}={\frac {A}{B}}\cdot \left({\frac {C}{D}}\right)^{-1}={\frac {A\cdot D}{B\cdot C}},}$.