Как компьютер суммирует ряды?

Question

Подскажите пожалуйста как компьютер суммирует плохо сходящиеся ряды. У него конечная точность вычислений, и если прибавлять члены которые много меньше текущей суммы ряда, то точности может не хватить. Т.е. компьютер не сможет прибавить одну миллиардную к сумме членов которую он уже посчитал. И при дальнейшем суммировании будет выдавать один и тот же результат.

Answer 1

Для "плохо сходящихся" рядов нужно использовать специальные алгоритмы расчёта.

Простейший алгоритм - это расчёт суммы блоков элементов и последующее суммирование сумм этих блоков. Размер блока выбирается так, чтобы при расчёте его суммы потери точности были минимальны (например, начинать новый блок, когда порядок очередного члена уменьшится по сравнению с предыдущим). Хорошо работает для монотонных рядов, но плохо для знакопеременных, для которых этот алгоритм модифицируют, считая отдельно блоки чётных и нечётных элементов.

Само собой суммирование сумм блоков выполняют от меньших к бОльшим.

Answer 2

Если стоит задача не потерять точность, то следует использовать соответствующие типы/библиотеки. Например для python точность для Decimal ограничена только оперативной памятью (по умолчанию 28 знаков):

from decimal import Decimal

s = Decimal(0)
s += Decimal(100000000000000)
s += Decimal(0.0000000000001)
print (s)

100000000000000.0000000000001

Живой пример.