Как узнать минимальное положительное целое число не представимое в float?(и других машинных арифметиках)

Question

Хотелось бы узнать как правильно найти минимальное целое число не представимое в float и десятичной арифметике с заданной мантиссой и экспонентами(минимальная,максимальная)

Answer 1

В С константы

FLT_MANT_DIG
DBL_MANT_DIG
LDBL_MANT_DIG

из <float.h> дадут вам количество цифр в мантиссе соответствующего плавающего типа. Каждая цифра мантиссы - в базе FLT_RADIX (обычно 2). В С++ те же значения можно также получить через std::numeric_limits<type>::digits.

Соответственно, все целые числа, чей модуль не превосходит FLT_RADIX^FLT_MANT_DIG должны быть представимы. А вот

      FLT_RADIX^FLT_MANT_DIG + 1

будет первым (минимальным) положительным целым не представимым в типе float.

Почему так? Так устроены плавающие типы. Если убрать не относящиеся к делу детали, то плавающее двоичное значение представляется по принципу

      значение = мантисса * 2^{экспонента}

Если полагать, что мантисса - целое число⁽¹, то при любом значении экспоненты больше 0, в последовательности представимых таким способом целых чисел будут "дырки". Например, очевидно, что при экспоненте 1 представимы будут только четные числа. Непрерывная последовательность целых чисел возможна только при нулевой величине экспоненты, а также в точке перехода от экспоненты 0 к экспоненте 1.

Для экспоненты 0 диапазон ограничен диапазоном значений самой мантиссы. В типе float ширина мантиссы - 24 (это FLT_MANT_DIG). Соответственно диапазон представимых целых идет от 0 до 2²⁴-1. А затем, при переходе к экспоненте 1 мы получаем еще одно представимое целое число: 2²⁴. А вот следующим представимым целым числом при экспоненте 1 будет только 2²⁴+2. Так что число 2²⁴+1 - это первая "дырка" в последовательности представимых целых чисел.

Проверим

#include <assert.h>
#include <float.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
  static_assert(FLT_RADIX == 2, "Ya krevedko");

  {
    unsigned long long i = 1ull << FLT_MANT_DIG;
    float f = i;
    printf("%llu %f\n", i, f);
    f = ++i;
    printf("%llu %f\n", i, f);
  }
  {
    unsigned long long i = 1ull << DBL_MANT_DIG;
    double f = i;
    printf("%llu %lf\n", i, f);
    f = ++i;
    printf("%llu %lf\n", i, f);
  }
}

Вывод

16777216 16777216.000000
16777217 16777216.000000
9007199254740992 9007199254740992.000000
9007199254740993 9007199254740992.000000

Таким образом в IEEE 754 типа float первое непредставимое целое число - это 16777217, а для типа double - это число 9007199254740993.

Та же формула применима и к десятичным представлениям с плавающей точкой, построенным на тех же принципах.

---

¹⁾ В реальности в IEEE 754 все несколько по-другому. Мантисса - это двоичное число с точкой вида 1.000...0 шириной в 24 бита (т.е. 23 двоичных знака после точки), и соответственно идущие подряд целые числа будут представляться при значениях экспоненты до 23. А начиная со значения экспоненты 24 будут представляться уже только четные целые числа. Но на вышеприведенные рассуждения это не оказывает принципиального влияния. Принципиальный момент тут в любом случае один и тот же - непрерывный диапазон целых чисел определяется шириной мантиссы.