Когда вызывается async-метод, происходит следующее:
Начинает синхронно выполняться async-метод. Если этот метод заканчивается до первого await, результат доставляется синхронно, и из метода возвращается уже закончившийся, завершённый Task. Если в процессе выполнения встретился await, система проверяет, отработало ли уже задание, на которое вызывался await. Если это задание отработало, то подставляется его результат, и синхронное выполнение продолжается дальше. Если задание, на которое происходит await, ещё не отработало, в этот момент из метода возвращается незавершённый Task. Метод помечается как выполняющийся и управление возвращается внешнему коду. В этой точке внешний код получает управление и продолжает выполняться. И поскольку этот Task ещё не завершён, внешний код в этот момент аналогично отдаст управление ещё более внешнему коду. Когда Task, на который происходит await, завершится (произведя результат или исключение), код после await возобновит свою работу. Это все значит, что когда синхронно выполняется async-метод, он использует время основного потока пока она выполняется, а не занимает время работы основного потока.
Таким образом получается, что если не активен основной поток, в котором выполняется async-метод, то не работает и метод async. Вот и отсюда это выражение - "использует время в потоке, только когда метод активен".