С кнопкой можно сделать так:
<asp:ScriptManager ID="ScriptManager1" runat="server"></asp:ScriptManager>
<asp:UpdatePanel ID="UpdatePanel1" runat="server">
<ContentTemplate>
<asp:Button ID="Button1" runat="server" Text="Button" OnClick="Button1_Click" />
<asp:Label ID="Label1" runat="server" Text="Label"></asp:Label>
</ContentTemplate>
</asp:UpdatePanel>
Кликаем по кнопке, отправляется асинхронный запрос, на сервере выполняется соответствующая функция и что-то записывается в label.
Можно ли сделать так: помещаем в UpdatePanel textBox и GridView, набираем текст в textBox, на каждое нажатие отправляется запрос на сервер в функцию, которая заполняет GridView. Но в проекте ASP.NET нет события KeyUp для элемента управления textbox.